月净威，哈佛大学科学家，道:“详细说明。单值解析函数的反函数可以是多值的。例如，幂函数和指数函数的反函数为根式函数和对数函数，它们都是多值的。另外，从一个解析函数元素出发沿一个闭曲线作解析开拓，最后可能得到不同的元素。因此，完全解析函数往往是多值的。在研究多值函数时，人们先把它分解为一个个单值解析分支，然后按这些分支之间的关系把它们连接起来。为研究，把扩充的复平面沿正实轴割开，记为╦1，它的边界是两条正实轴л剂和л奂，分别镶在第一象限的下边和第四象限的上边，在╦1上令就得到的一个单值解析分支，它在╦1的内部是解析的，并且连续到边界л剂和л奂上，但在和同一个正实数x对应的分别位于л剂和л奂上的两个点上，却分别取不同的值。设╦2是另一个沿正实轴割开的扩充的复平面，它的边界记为л崹和л崃。令就得到的另一个单值解析分支。与不同，在л崹和л崃上与正实数x对应的两个点处，值分别是。由于在л剂和л奂上的值分别与在л崃和л崹上的值相同，人们自然地把л剂和л崃以及л奂和л崹两两粘接起来，而把╦1和╦2拼接成一个整体，这就是的黎曼曲面。作为定义在这个曲面上的函数，包含了它的两个分支，同时是单值的。替多值函数构造一个适当的定义场所，而使得它成为一个完整的单值解析函数，这是黎曼的原始的思想。这样构造出来的，和lnz的黎曼曲面。把的黎曼曲面按原来的位置放在扩充的复平面上就成了扩充复平面的一个n叶覆盖曲面。曲面上的点o和∞叫做n-1级枝点。同样，lnz的黎曼曲面是（除去原点后的）复平面的无枝点的覆盖曲面。一般地说，复平面（或扩充的复平面）的任意的一个覆盖曲面都可看作一个黎曼曲面。设覆盖曲面中的点p位于复平面中的点z之上，则称z为p的投影。定义在曲面上的一个函数在非枝点处是否解析，就看它作为投影z的函数是否是解析的；而在投影为z0的n-1级枝点处，则要看它对于是否是解析的。这就是黎曼本人的原始的黎曼曲面的概念。黎曼曲面的经典理论是在这样的概念上发展起来的。一个完全解析函数或完全解析构形，把其中以z0为中心的函数元素看作放在z0上的点，自然就成了扩充平面的覆盖曲面，这就是它的黎曼曲面。一个代数函数w=w(z)的黎曼曲面是扩充平面的n叶覆盖曲面（n为对应的方程中w的最高次数）。例如，把上下两个平面中连接0，1和连接2，3的两个线段都割成裂缝，每一裂缝产生两条边，分别与平面上半部分和下半部分相连，用实线与虚线表示。然后把上平面中实线（虚线）所示的边和下平面中虚线（实线）所示的边粘接起来。（c.h.）h.外尔首先给出黎曼曲面的近代定义。”

与此同时，他也给出了“流形”这个近代数学的基本概念的严格定义。

按照外尔的观点，黎曼曲面就是一维的复流形。

在一个曲面(局部与欧氏平面同胚的、连通的豪斯多夫空间)上，定义了一族局部参数（曲面的某一个开集上的一个连续单叶复值函数，也叫局部坐标），若在任意两个相邻的局部参数的定义域的公共部分上，其中的一个参数作为另一个参数的函数是解析的，并且这些参数的定义域覆盖了整个曲面，那么，这个曲面连同这族局部参数（叫做共形结构）就构成了一个黎曼曲面。复平面c或者c上任一个区域按其自然参数都是黎曼曲面。

在扩充复平面╦上，除了在c上已有一个自然参数外，再在区域{z││z│>0}（包括无穷远点）上令，得另一参数，而使╦成为一个黎曼曲面。

一个黎曼曲面到黎曼曲面里的连续映射称为是解析的，如果它用两个曲面上的局部参数表示出来是解析函数。

一个黎曼曲面到╦里的解析映射就是该曲面上的半纯函数（亚纯函数）。

黎曼曲面上的调和（或次调和）函数的定义为关于局部参数是调和（或次调和）的函数。

黎曼曲面的引入，大大地开扩了复变函数论的研究范围。

由紧曲面作成的黎曼曲面叫做闭黎曼曲面，否则就叫做开黎曼曲面。

若一个闭曲面（或开曲面）上的一维同调群（或模理想边界的一维同调群）的秩是2g，则称g(非负整数或无穷)为此黎曼曲面的亏格。

开曲面的亏格，可能为无穷。

两个黎曼曲面称为是共形等价的，如果存在一个从一个曲面到另一个曲面上的一一的解析映射（共形映射）。

同一个亏格g(g>1)的闭黎曼曲面的所有共形等价类组成所谓模空间。

黎曼首先发现，模空间中的元素由3g-3个复参数确定。

从模空间的研究中，产生出丰富多彩的泰希米勒空间的理论。

人们还把开黎曼曲面，作了分类。

不存在非常数的负次调和函数的开曲面叫做抛物型曲面，其他的开曲面就叫做双曲型曲面。

抛物型曲面，所成的类用og表示。

不存在非常数的有界解析或调和函数，狄利克雷积分为有穷的解析或调和函数，或正调和函数的开曲面分别组成类oab或ohb，oad或ohd，或ohp。

在这些曲面类之间，存在如下的包含关系：按照黎曼本人的原始概念，黎曼曲面是╦的覆盖曲面。

所谓曲面愞是曲面f的覆盖曲面，是指存在曲面愞到曲面f里的映射?，对于每一个慉∈愞，都存在慉和?(慉)∈f的开邻和v，使得限制和v之间，?拓扑等价于单位圆到自身的映射z=zn（n是正整数，它与慉有关；当n>1时，慉叫做枝点）。

定义中的映射?叫做——投影。

当f是一个黎曼曲面时，可使上面的是f的局部参数。

令z为愞的局部参数，就在愞上定义了一个共形结构，而使它成为一个黎曼曲面，并且，?是一个解析映射。

一个完全解析函数w=g(z)的黎曼曲面就是╦的覆盖曲面，并按上面的方法，赋以共形结构。。

在这个曲面上，有两个半纯函数：把w=g(z)看作曲面上的单值函数，记以w=g(p)；还有从曲面到╦上的投影，记以z=z(p)，p是曲面上的点。

这里的完全解析函数，可以包含极元素和分枝元素，以及分枝的极元素。